4T1B. Fractions (partie 1)

Deux fractions sont égales si on passe de l’une à l’autre en multipliant
(ou en divisant) par le MÊME nombre.

$\huge{\frac{\sf a}{\sf m} = \frac{\sf a \times \colorbox{wheat}{\sf k}}{\sf m \times \colorbox{wheat}{\sf k}}}$

Ces 2 fractions ont le même dénominateur (mn),
donc elles sont égales si leurs numérateurs sont égaux.

Cela sert aussi à calculer une quatrième proportionnelle.

$\large{\frac{15}{17} = \frac{99}{x}}$ alors $\large{x = \frac{17 × 99}{15} = 112,2}$

Si les fractions ont le même dénominateur, il suffit d’ajouter les numérateurs.

$\large{\frac{2}{3} + \frac{5}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2 + 5 - 4}{3} = \frac{\colorbox{wheat}{3}}{\colorbox{wheat}{3}}}$

Si les fractions n’ont pas le même dénominateur,
on doit trouver un dénominateur commun.

$\large{\frac{5}{6} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5 + 2}{6} = \frac{\colorbox{wheat}{7}}{\colorbox{wheat}{6}}}$
$\large{\frac{4}{18} + \frac{5}{27} = \frac{12}{54} + \frac{10}{54} = \frac{12 + 10}{54} = \frac{\colorbox{wheat}{22}}{\colorbox{wheat}{54}}}$

Un nombre premier est un nombre qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Tout nombre entier peut se décomposer de manière unique
sous la forme d’un produit de facteurs premiers.

Exemple : décomposer 780 en produit de facteurs premiers.

Méthode 1

780 = 10 × 78
= 2 × 5 × 2 × 39
780 = 2 × 5 × 2 × 3 × 13

Donc
780 = 2 × 2 × 3 × 5 × 13
780 = 2² × 3 × 5 × 13.

Méthode 2

780 = 2 × 390
390 = 2 × 195
195 = 3 × 65
65 = 5 × 13

Donc
780 = 2 × 2 × 3 × 5 × 13
780 = 2² × 3 × 5 × 13.

Méthode 3

Donc
780 = 2 × 2 × 3 × 5 × 13
780 = 2² × 3 × 5 × 13.

Cela peut être utilisé pour simplifier des fractions. Par exemple :

140 = 2 × 2 × 5 × 7 = 2² × 5 × 7
135 = 3 × 3 × 3 × 5 = 3³ × 5
donc $\Large{\frac{140}{135} = \frac{2 ^ 2 × 5 × 7}{3 ^ 3 × 5} = \frac{2 ^ 2 × 7}{3 ^ 3} = \frac{28}{27}}$