4T3A. Triangle rectangle
Le puzzle-preuve
- Les aires des 2 carrés de départ sont égales, ainsi que celles des triangles
- les aires des parties en gris foncé qui restent visibles sont donc égales
- figure de gauche : h × h = h²
- figure de droite : a × a + b × b = a² + b²
- conclusion : h² = a² + b².
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal
à la somme des carrés des 2 autres côtés.
Exemple
Calculer AC.
- Le triangle est
rectangle en B, donc je peux utiliser le Théorème dePythagore .
AC² = AB² + BC²
AC² = 9² + 12²
AC² = 81 + 144
AC² = 225
et AC = $\sqrt{225}$ = 15.
Donc AC =15 cm .
La racine carrée d’un nombre positif «a» est le nombre positif
dont le carré est égal à «a».
- 5 est la racine carrée de 25 car 5² = 25.
$\sqrt{25}$ = 5.
Avec ma calculatrice (à adapter)
Démontrer qu’un triangle est rectangle … ou pas
Réciproque et autre formulation du théorème de Pythagore
- Soit un triangle ABC dans lequel [AB] est le plus grand côté
- si AB² = AC² + BC² alors ce triangle est rectangle en C
- si AB² ≠ AC² + BC² alors ce triangle n’est pas rectangle.
Exemple : n°6 a
EF = 4,5 cm ; FG = 6 cm ; EG = 7,5 cm.
- Le plus grand côté est [EG].
- On calcule
séparément :- EG² = 7,5² = 56,25
- EF² + FG² = 4,5² + 6² = 56,25
- L’égalité de Pythagore est vérifiée (EG² = EF² + FG²), donc
le triangle EFG est rectangle en F .